gut, dann zieh ichs jetzt mal für dich nörgelspaten ganz logisch und versiert durch.
Sei f: x->y(x) die lineare Abbildung des Preises auf die Qualität der Produkte, deren varianzwert E ist.
Sei x(0) der Anfangswert von x, y(0)=y(x(0)).
Sei E>0.
Betrachte die Abbildung f auf Monotonie. Die Funktion ist linear, also erfüllt sie die fundamentallineararithmetik f(c(x+y))=cf(x)+cf
.
Angenommen, sie sei es nicht. Dann ex. kein Wert (1+x)^n, der größer ist als 1+nx, was nach bernoulli aber in jedem metrischen raum gegeben sein muss. also betrachten wir im nächsten schritt den polynomraum auf metrik. wir sehen:
N1: sei x=g=y. dann ist f(x)=f(g)=f
, da die funktion linear ist, somit gilt auch d(x,g)=d(g,y)=d(x,y)=d(x,x)=0.
N2: nach N1 ex ein d(x,g)=d(g,y). somit gilt. d(x,g)=d(x,y)=d(x,x)=d(y,x)=d(g,x). die metrik, falls sie existiert, ist also transitiv.
N3: folgt aus N1.
in metrischen räumen muss aber die bernoulli-ungleichung von oben gelten, also führen wir hier die these zum widerspruch.
der polynomraum ist also metrisch und auch vollständig, da die werte aus R entnommen sind und f, da linear, eine bijektive abbildung bildet.
somit können die folgeglieder f(x
) und f(x(n+1)) als metrische folgeglieder betrachtet werden, die nach obengenannten vorraussetzungen auch dem cauchyprinzip entsprechen.
da jede menge von cauchyfolgen in einem vollständig metrischen raum konvergiert, nach dem quotientenkriterium sogar absolut, gilt:
f(x
) =< f(x(n+1)) +/- E, wobei E beliebig klein ist.
Zusammen mit dem Cauchykriterium lässt sich also sagen:
Die Abbildung ist linear und monoton wachsend und in einer E-Kugelumgebung um x existieren höchstens endlich viele Ausnahmen, die nicht größergleich dem vorgängerglied sind.
Für dich gesagt - Qualität hat bis auf endlich viele ausnahmen IMMER mit dem Preis zu tun.
Logischer kriegstes nicht mehr hin. Reine Mathematik.
